Gewinnspiel, HOHE LUFT, Rätsel
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Des Rätsels Lösung

Unser Rätsel war diesmal besonders knifflig. Wir haben zahlreiche Antworten erhalten, aber nur eine einzige war richtig. Herzlichen Glückwunsch an den Gewinner, den wir bereits informiert haben! Danke auch allen anderen Teilnehmern, die so viel Spaß am Denken hatten.

Hier noch einmal die Frage:

Lassen wir Achilles auf einem langen Gummiband laufen! Er schafft 250 Meter pro Minute. Das Band ist anfangs 25 Kilometer lang. Aber am Ende jeder Minute dehnt es sich plötzlich um weitere 25 Kilometer. Achilles, der unermüdliche Held, rennt weiter und weiter. Wird er je das andere Ende des Bands erreichen?

Die Lösung lautet:

Ja! Aber er muss verdammt lange rennen. Am Ende der ersten Minute hat Achilles 1/100 des Gummibands geschafft. Am Ende der zweiten Minute 1/100 + 1/200. Allgemein nach n Minuten: 1/100 × (1/1 + 1/2 + … + 1/n). Der Ausdruck in Klammern ist die sogenannte harmonische Reihe, die beliebig groß wird – allerdings sehr langsam. Sobald er die Größe 100 erreicht, ist Achilles am anderen Ende des Bandes angelangt. Dafür brauchen die harmonische Reihe und Achilles 1,509269 × 10^43 Minuten. Hoffentlich hält das Universum so lange!

3 Kommentare

  1. Felix sagt

    Ich habe eine Frage zu der Lösung.
    Nach einer Minute hätte er 250m von 25km (1/100) geschafft.
    Nach zwei Minuten hätte er 500m (weil er weitere 250m gelaufen ist) von 50km (weil sich die Strecke einmal ausgedehnt hat) – also wieder 1/100.
    Dritte Minute: 750m von 75km (1/100)
    usw.
    Denn er ist ja immer
    Minuten * 250m gelaufen
    und die Strecke ist
    Minuten * 25km lang

    Dann wäre er einfach in jedem Zeitschritt ein Hundertstel der Strecke gelaufen und würde also nie ankommen.

    Oder dehnt sich die Strecke nach der ersten Minute (also nach den ersten 250 gelaufenen Metern) direkt aus, sodass der Stand nach einer Minute 250m von 50km ist (was aber direkt 1/200 wäre)?
    Dann wären die Brüche ganz andere.
    1: 1/200
    2: 1/150
    3: 1/133,3333…
    4: 1/125
    5: 1/120
    n: 1/(100+100*1/n)

    Diese Reihe würde zwar auch nicht konvergieren, aber es wäre halt eine ganz andere. 😉

  2. danielk sagt

    Da stimmt irgendetwas nicht, denn nach jeden gelaufenen 250m dehnt sich auch der hinter achilles liegende Bereich… Ich glaube, dadurch konvergiert DIW Reihe schneller…

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