HOHE LUFT, Rätsel
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Ein Rätsel: unendlicher Stab auf unendlichem Tisch

Ein Rätsel für Freunde des Unendlichen:

Stellen Sie sich vor, ein gerader Stab ragt senkrecht aus einem flachen Tisch. Der Stab ragt unendlich weit empor, und der Tisch ist unendlich groß in alle Richtungen. Einen Meter über dem Tisch hat der Stab ein bewegliches Scharnier eingebaut. Jetzt klappen Sie das Scharnier langsam zu. Der Stab neigt sich auf den Tisch zu.

Was geschieht dann? Kracht der Stab auf den Tisch?

(Die Idee geht zurück auf Raymond Smullyan. Nachzulesen in der Festschrift A Lifetime of Puzzles für Martin Gardner zum 90. Geburtstag, erschienen 2008 bei A. K. Peters)

16 Kommentare

  1. bmgnrs sagt

    Ich behaupte mal, der Stab berührt den Tisch, sobald der Öffnungswinkel des Scharniers geringer ist als 45°. (Die Gewichtskraft des unendlich langen Stabes spielt bei diesem Rätsel keine Rolle, oder?)

  2. Ich glaube, dass man das Scharnier bis zu 90° schliessen kann. Somit wäre der obere Teil des Stabs parallel zur Tischplatte. Ein kleinerer Winkel ist dadurch verunmöglicht, dass der obere Teil des Stabs an der Tischplatte ankommt und die Bewegung verunmöglicht (Dreieck). Da ein Dreieck aber immer endlich lange Schenkeln hat, muss die Bewegung vorher – vor der Bildung des Dreiecks – aufhören. Also bei 90°.

    Da die Bewegung andererseits aber erst verunmöglicht wird, wenn Stab und Platte sich berühren, bleibt die Frage, ob sich die parallel verlaufenden Stab und Tischplatte irgendwo in der Unendlichkeit doch berühren müssen…

  3. Tobias sagt

    @bmgnrs Ich nehme mal wohlwollend an, du willst den Tisch im Sinne der projektiven Geometrie vervollständigen – siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Fernelement Dann kann man es so ausdrücken.
    In unserer üblichen (affinen) Geometrie allerdings gehört es zu den Gemeinheiten eines unendlichen Tisches, dass alle seine Punkte nur endlich weit weg sind.
    @Sofia Das ist die Lösung. Der umgeklappte Stab kann den Tisch nicht berühren, weil er ihn sonst durchstoßen würde. Seltsamerweise bleibt er parallel zum Tisch in der Luft liegen. Man kann also einen unendlichen Stab nicht auf einen einen unendlichen Tisch legen.

    • Das Problem resultiert aus der Verknüpfung der Vorstellung von Zeit und räumlicher Unendlichkeit?

  4. Christian sagt

    Die Lösung finde ich sehr interessant, sie leuchtet mir auch vollkommen ein. Mein erster Gedanke wäre somit vermutlich als Themaverfehlung einzustufen. Ich habe überlegt, wie lange das Ende eines solchen Stabes brauchen würde, um auch nur in die Nähe der Tischplatte zu kommen.

      • Christian sagt

        Hallo Tobias, stimmt natürlich; macht aber letztlich keinen Unterschied. Bei einem endlichen Stab benötigen beide Enden gleich lange bis sie parallel zum Tisch liegen. Ich wüßte nicht, warum das bei einem unendlichen anders sein sollte. Und müßte das nicht unendlich lange dauern? Das ändert nichts an der spannenden Lösung von oben, war eben nur so mein Gedanke.

        • CosmicMonsta sagt

          Die Lösung ist nur richtig, wenn man nicht-relativistisch rechnet.Nichts ist schneller als Licht, deshalb wird ab einer bestimmten Länge des Stabes die Geschwindigkeit größer als die Lichtgechwindigkeit. Entweder ist der Stab biegsamund er wird nach unendlich länger Zeit parallel zum Tisch sein oder er ist nicht biegsam, dann kann man ihn überhaupt nicht bewegen und er bleibt senkrecht stehen.

  5. Christoph sagt

    TITLE=“Ein kleiner Einwand!“
    Bisher haben alle einen euklidischen Raum angenommen, in dem es zu einer Geraden genau eine Parallele gibt. Was ist jedoch, wenn sich der Raum gar nicht so verhält, sondern einer nicht-euklidischen Geometrie gehorcht? Unsere Erfahrungen des Alltags verführen uns dazu, daß zu denken, was wir hundertfach wahrgenommen haben, aber ob dies wirklich der Realität entspricht, weiß niemand. Ob der Raum in dem wir Leben wirklich der euklidischen Geometrie gehorcht oder doch der elliptischen oder hyperbolischen konnte bis heute nicht geklärt werden. Der Mensch scheint jedoch nicht dafür geschaffen zu sein, eine andere Beschaffenheit des Raumes wahrzunehmen, als diejenige, die Euklid vor mehr als 2000 Jahren festhielt. Die Annahme, die Euklid für seine Geometrie vorausgesetzt hat, das es genau eine parallele Gerade zu einer Zweiten gibt (Parallelenaxiom), läßt sich nicht beweisen, weshalb Alternativen immer in Erwägung gezogen werden müssen. Diese werden als nicht-euklidische Geometrie bezeichnet, in denen dieses Axiom nicht gilt.
    In der einen Alternative, elliptische Geometrie genannt, wird die Möglichkeit paralleler Geraden negiert. Geraden sind hier „gebogen“, einzig weil auch der Raum gebogen ist, das einfachste Modell ist wohl die sphärische Geometrie. Für unseren fiktiven Tisch würde das bedeuten, daß der Stab sich kein bißchen bewegen würde, weil er von vornherein den Tisch berührt. Am einfachsten konnte ich mir das folgendermaßen vorstellen: wenn man sich den Tisch als Äquator auf der Erdkugel denkt und den Stab als Nullmeridian, dann berühren sich die beiden auf genau der entgegenliegenden Seite, d. h. der Stab steckt schon ein zweites Mal im Tisch, vorausgesetzt, er geht in all allen Raumebenen senkrecht von Tisch ab. Das Dreieck, was man zum lösen der Aufgabe im euklidischen Raum braucht und dessen Innenwinkelsumme dort 180° beträgt, verwandelt sich im elliptischen Raum in ein Zweieck mit einer Innenwinkelsumme von 180°.
    In der zweiten Alternative, hyperbolische Geometrie genannt, wird die Existenz der parallelen Gerade noch erweitert und angenommen, daß es mindestens zwei gibt, wenn nicht sogar unendlich viele. Auch hier sind die Geraden „gebogen“, allerdings wird es hier mit der Vorstellung auch etwas schwieriger. Genaugenommen hängt die Lösung des Rätsels von der Lage unseres Tisches im Raum ab und auch ganz wesentlich von der Krümmung desselbiegen. Hier wird es aber sehr interessant, denn auf einmal kann der Stab vollständig umknicken. Was wir wieder suchen müssen ist das Dreieck, wieder vorausgesetzt, der Stab geht senkrecht in allen Raumebenen vom Tisch ab. Dreiecke haben in dieser Geometrie eine Innenwinkelsumme, die kleiner ist als 180°, abhängig von der Größe des Dreiecks kann jene jedoch auch Null sein. Das liegt daran, das die Geraden eines Dreieck in diesem Falle nach innen „gekrümmt“ sind. Liegt also das Dreieck günstig, oder genauer: steht der Tisch unter optimalen Bedingungen, kann der Stab sich vollständig beugen und würde den Tisch doch nie berühren.
    Ich fand diese Überlegungen ziemlich überraschend, weil sie den Alltagsvorstellungen doch extrem zu widersprechen scheinen, aber dennoch: nur weil wir Dinge auf eine bestimmte Art wahr nehmen, bedeutet das nicht, daß es kein Konstrukt unsererseits ist. Unsere Wahrnehmung ist beschränkt auf die wenigen Rezeptoren, die uns zur Verfügung stehen und das Gehirn, daß daraus eine „Realität“ konstruiert; wie viel diese mit der wirklichen Realität zu tun hat, wird oder kann uns nie völlig klar werden, aber vielleicht kann uns die Frage nach ihr zu mehr Antworten führen.

    p.s. Ich weiß, daß ich nicht allwissend bin und sollte jemand anderer Meinung sein oder einen Fehler gefunden haben, bin ich immer froh dies zu erfahren!

  6. jonesi sagt

    Die Antworten der Parallelität gehen auf die Definition: „Parallelen schneiden sich um unendlichen“ zurück.
    Unter Annahme der Definition: „Parallelen sind überall gleich weit entfernt.“ sieht es nun so aus, als ob der Stab immer und überall 1m vom Tisch entfernt ist. Wie weit weg wir uns auch befinden.
    Ist das undendliche auch irgendwo? Ist es also im überall inbegriffen? Oder ist es nirgendwo, damit nicht im überall? Wo ist es dann?

    Da ich meinen Einwand sehr schwach zu dem ralitivistischen und dem geometrischen sehe, tue ich meine erste Assoziation kund:
    Der Stab wird brechen und ein Berührpunkt in nicht allzuweiter Ferne entstehen.

    Interessant wozu unser Geist abseits vom abstrakten Denken auf konkret weltlicher Ebene fähig ist.

  7. Henning sagt

    So ein Mist, blöde Enter-Taste.

    So:
    Viel interessanter, da praktisch nachvollziehbar, wird die Frage, wenn das Experiment nicht mit einem Tisch und einer Stange durchgeführt wird, sondern mit zwei Lasern, die auf einer Ebene liegen und sich in einem unbegrenzt grossem Raum (sagen wir dem Universum) befinden: Der eine steht um 90 Grad gedreht und einem Meter versetzt zum anderen.
    Wann schneiden sich die Lichtstrahlen, wenn der eine Laser langsam mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit gedreht wird?
    Und was für eine Winkelgeschwindigkeit ergibt sich, wenn der Laser nicht an seinem Aufhängepunkt, sondern anhand des im Unendlichen auftreffenden Punktes gedreht wird?
    Wenn er nicht gerade mit einer unendlichen Geschwindigkeit bewegt wird, müsste sich der Winkel genau gar nicht ändern.
    Und was passiert nach einer unendlich langen Zeit?

    Und was für eine Winkelgeschindigkeit hätten die Laser zueinander, wenn ihre im Unendlichen auftreffenden Licht-Punkte aufeinander in endlicher Geschwindigkeit zubewegt werden?
    Entweder ist dies nicht möglich, oder aber ihre Phase zueinander würde sich ohne tatsächliche Bewegung ändern, oder der Winkelunterschied bleibt konstant, und sie schneiden sich trotzdem.

  8. jones sagt

    Ein endlich langer Stab berührt einen ausreichend breiten Tisch zuerst am Endes des Stabes. Ein unendlicher langer Stab berüht demnach einen unendlichen langen Tische an seinem unendlich weit entferntem Ende, also nie.

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